ואולי זנון צדק 1


אכילס והצב עושים תחרות ריצה. אכילס רץ במהירות של 100 מטר לשניה, והצב רץ במהירות של 50 מטר לשניה. בגלל ששניהם יודעים שאכילס רץ מהר יותר, אכילס מתחיל 600 מטר לפני קו הסיום, והצב מתחיל 400 מטר לפני קו הסיום. אחרי 6 שניות מגיע אכילס לקו הסיום, ו-2 שניות אחר כך מגיע לשם גם הצב (ומפסיד). אם נניח לרגע שהריצה של שניהם היא בקצב קבוע לגמרי, אנחנו גם נוכל להגיד שהם יפגשו אחרי 4 שניות במרחק של 200 מטר מקו הסיום. זנון הציע להסתכל עלהמרוץ הזה קצת אחרת. אחרי שתי שניות אכילס התקדם ב-200 מטר והגיע למרחק של 400 מטר מקו סיום, ז"א לקו הפתיחה של הצב. באותו הזמן הצב התקדם במאה מטר, והגיע למרחק של 300 מטר מקו המטרה. הזמן שיקח עכשיו לאכילס להגיע לצב הוא שניה, אבל רגע, בינתיים הצב המשיך להתקדם, והוא נמצא 50 מטר מאכילס. וכך הלאה, כל פעם שאכילס יתקרב למקומו הנוכחי של הצב, הצב כבר ימשיך הלאה, ואכילס לעולם לא יגיע אל הצב (שלא לדבר על להשיג אותו).הפרדוקס הזה  בא להסביר את הבעיתיו בתפיסת הזמן והרצף שכל כך אינטיאוטיבית אצל בני האדם. לכאורה הן נפתרו על ידי התכנסות טורים החשבון האינפיניטסימלי, אבל זה לא כל כך מדוייק… ז"א החשבון האינפיניטסימלי נתן דרך להתמודד עם כאלה בעיות באופן שיתאים לאינטואיציה שלנו, אבל אף אחד לא אומר שהיא נכונה. בכל מקרה, אני אנסה לנצל את התיאור הזה למטרה קצת אחרת.

הפיזיקה מנסה לתאר את החוקים של העולם שאנחנו רואים. לצורך זה אנחנו עושים ניסויים, ומסיקים מסקנות מתוצאות שלהם. אבל, בשביל להסיק מסקנות שהן יותר מאוסף של אנקדוטות, אנחנו צריכים להכליל מהמקרים הפרטיים למקרה הכללי. לצורך זה אנחנו חייבים להניח שיש סימטריה בעולם. ז"א שלא רק שקיימים חוקים פיזיקלים (שזאת הנחת האפס, בלעדיה אין מה לנסות ולנסח חוקים שכאלה), אלה שהחוקים האלה קבועים, ז"א שאם נקבע חוק שתפוחים נופלים למטה, זה יהיה נכון גם באוסטרליה וגם באטלנטה גם אתמול, וגם מחר, גם בקור וגם בחום… כמובן שבזמן ניסוח החוקים כל מה שיש לנו הוא אוסף של אנקדוטות, אנחנו לא יודעים עם החוק שננסח יהיה באמת נכון למחר, או שהוא באמת היה נכון לגבי ניסויי עבר שלא ידועים לנו, אבל זה רק אומר שהחוקים שננסח יהיו תיאוריות (ולא עובדות) אבל זה עדיין מחייב את החוקים שלנו לשמור על אותה סימטריה.אחרי שהנחנו את הסימטריה, אנחנו צריכים לעבור לשלב הבא, ולנסות להגדיר דרך להכליל מהפרט (או מאוסף הפרטים) לכלל. לצורך זה אנחנו משתמשים בשפה המתמטי, שמאפשרת לנו להגדיר חוקים בצורה פשוטה, ולהסיק מהם מסקנות גלובליות.  המתמטיקה, או לפחות החלקים בהם אנחנו משתמשים, משתמשים במספרים, ז"א שאנחנו צריכים לתרגם את תוצאות הניסויים שלנו למספרים. לזה אנחנו נקרא "מדידה".

יש כמה גדלים בסיסיים בפיזיקה אותם נרצה למדוד, ובעזרתם נוכל לבטא את כל הגדלים המוכרים לנו: מרחק, זמן, משקל, טפמרטורה… (בפיזיקה המודרנית מספר הגדלים צומצם מאד, אבל כרגע אני מדבר על העולם הניוטוני). למדוד מרחק זה קל, ניקח חפץ (נגיד רגל) מסוים, והוא יהיה יחידת המרחק הבסיסית שלנו.אם אנחנו רוצים למדוד מה המרחק בין ירושלים לחיפה, נספור כמה פעמים נכנסת אותה רגל בין ירושלים לחיפה. תמיד נוכל לחזור על הבדיקה, ובגלל שאנחנו משתמשים באותו חפץ (טוב, זנון בטח לא היה מקבל גם את זה) המדידה שלנו עונה על תנאי הסימטריה ואפשר להשתמש בה. בשביל למדוד משקל ניקח את החפץ (או חפץ אחר) ונעמיד אותו על מאזניים מול כל מה שאנחנו רוצים למדוד את המשקל שלו (ז"א אפשר ככה למצוא עוד הרבה חפצים בעלי אותו משק, או חפצים בעלי חצי יחידת המשקל, וכך הלאה לכל המספרים הראציונלים). גם במדידה הזאת עמדנו בתנאי הסימטריה, אנחנו משתמשים באותו חפץ, או בחפצי עזר שתמיד נוכל להשוות לאותו חפץ.

מדידת זמן היא שונה. בשביל למדוד זמן אנחנו לוקחים מערכת בעלת מחזור זמן "קבוע" (כמו מטולטלת) וקובעים מחזור אחד כיחידת הזמן שלנו. זה מאד קרוב לאינטואיציה שלנו לזמן, ומתאים למערכות מוכרות בכדור הארץ (סיבוב כדור הארץ סביב עצמו, סביב השמש, סיבוב הירח סביב כדור הארץ…) ולמערכת הביולוגית שלנו ושל הסובבים לנו, לכן אין לנו בעיה בשימוש הזה. אבל כדאי לשים לב שזה לא עונה לתנאי הסימטריה. לא נוכל לקחת את המחזור הקודם של המטולטלת ולהשתמש בו שוב, הוא עבר, חלף, לא קיים יותר (וזנון היה מפקפק בכך שהוא היה קיים אי פעם). המחזור הנוכחי הוא מחזור אחר, ואף פעם לא נוכל לדעת שהזמן שלו זהה לזמן של המחזור הקודם. ז"א יכול להיות שהזמן האמיתי בכלל לא לינארי בזמן שאנחנו מודדים או מרגישים באינטואיציה שלנו.

סביר להניח שהוא רציף (כפונקציה של הזמן שאנחנו מודדים), מתנהג יפה, חד חד ערכי במובן חלש (ז"א, כל זמן שמדדנו ונמדוד הוא זמן קיים, וכל זמן שונה שנמדוד יהיה שונה מאחר) וכו'. בעצם, אפשר לשאול: אם ניסחנו כבר הרבה חוקים שתלויים בזמן, בין השאר, החוקים שמהם נובע שהמחזור של המטולטלת הוא קבוע, מה זה משנה עם הזמן שאנחנו מודדים הוא לא הזמן האמיתי? בשביל מה בכלל צריך את הזמן האמיתי? בעיקר בהתחשב בעובדה שהחוקים הנוכחיים הם קלים למדי, וחוקים אחרים (עם זמן לא לינארי בזמן בו אנחנו משתמשים) יהיו רק קשים יותר לניסוח ולא יתנו לנו שום תוצאה שונה?

בגדול, זה די נכון. אבל, בכל זאת, מה עם הזמן שאנחנו מודדים הוא בעצם "זמן זנון" (למשל), ז"א כל שניה שאנחנו מודדים היא עוד איטרציה במרוץ של הצב ואכילס, בכל שניה שמדדנו עבר חצי מהזמן שעבר בשניה שמדנו לפניה? אחרי שנמדוד שניה אחת תעבור "שניה" אמיתית אח, אחרי שנמדוד את השניה תעבור עוד חצי "שניה" אמיתית, אחרי שנמדוד את השלישית תעבור עוד רבע "שניה" אמיתית, ובזמן האמיתי עולם לא תגיע השניה השניה. אכילס לעולם לא ינצח את הצב, למרות שהוא תמיד ירגיש (גום אנחנו) שהנה, עוד צעד קטן… בעצם, אנחנו אף פעם לא נראה את הצעד הזה מגיע.

אם היחס הוא כפול, אז לא נראה את השניה הבאה מגיעה, ואנחנו כן רואים את מחזורי זמן כפולים, לכן, במידה ואפשר לסמוך על הזיכרון שלנו, אפשר לבטל את האפשרות הזאת. אבל אם היחס הוא  קטן יותר, גדול מ-1 (ככה שזה כן יהיה מעניין) אבל קטן מספיק על מנת שלא נוכל להגיד שהצלחנו למדוד (במכשירי המדידה שמייצרים מחזור זמן קבוע) את אותו מספר מחזורים? ואם מדובר על פונקציות אחרות, כאלה שנראות יותר לינאריות בהתחלה ובכל זאת לא מכסות את כל הזמן?

מודעות פרסומת

9 Responses to ואולי זנון צדק 1

  1. יובל says:

    קשה ואני לא בטוח שהבנתי את הנקודה שלך.
    כלומר – ברור לך שזנון לא צדק במובן הפשוט שאכילס משיג את הצב. ואנחנו יודעים שאפילו טרנס' לורנץ, שעושות דברים מוזרים ונוגדי אינטואיציה, לא יכולות להפוך וקטורים דמויי-זמן לדמויי-מרחב וההפך. ככה שבכל מערכת שהיא אכילס משיג את הצב.
    האם הטענה היא שיכול להיות שיחידות הזמן/תפיסת הזמן שלנו משתנה בצורה מורכבת כלשהי ומספיק עדינה כך שאנחנו לא יכולים לראות זאת בניסוי?

  2. smiley says:

    אנחנו יודעים שאכילס השיג את הצב בכול המרוצים שערכנו והסתיימו, על סמך זה אנחנו מניחים שאכילס ישיג את הצב במירוצים הבאים. הטענה שלי היא שזה נכון רק במידה והנתונים "זהים" אבל בגלל שאנחנו לא יכולים למדוד את הזמן "באמת" (להבדיל מהמרחב, שבו אנחנו יכולים ממש להזיז את העצם שמשמש למדידה), אנחנו לא יכולים לדעת שהמהירות של הצב ואכילס היא באמת קבועה. אם אכילס מהיר יותר מהצב, אבל המהירות שלו (ושל הצב) הולכת ויורדת באופן אקספוננציאלי, הם לא יפגשו לעולם (למרות שאכילס יהיה תמיד מהיר יותר).

  3. יובל says:

    אוקיי. נדמה לי שעכשיו הבנתי. אתה אומר שיתכן מצב בו לא סתם המהירות של אכילס והצב דועכת אלא שכל התהליכים הפיזיקליים יחדיו מהירותם משתנה, פשוט כי הזמן חולף בצורה שונה.
    אני חושב שבאמצעות תצפיות אסטרונומיות בודקים את ערכם של כל מני קבועים לפני מיליארדי שנים. אני מניח שקצב שונה של תהליכים פיזיקליים מוכרים יתורגם לשינויים ברוחב של פסים ספקטרליים ולדעתי אין כאלו, לפחות לא ברמה מדידה.
    כמובן שניתן להגיד שהעובדה שעד עכשיו לא היה שינוי בזמן לא אומר שלא יהיה שינוי בזמן החל ממחר, ואין דרך לסתור זאת.
    אבל זאת בסך הכל בעיית האינדוקציה, שבעוד שבברור אין לה פיתרון, הרי שכל מי שעוסק במדע צריך פשוט להכיר בכך ולחיות עם זה.

  4. smiley says:

    אם כל התהליכים דועכים, אז אין לך שום דרך לראות או להרגיש את הדעיכה (משום שכלי המדידה שלך דועכים גם כן). בעיית האינדוקציה היא בעיה אחרת, אנחנו יודעים שהמרחב לא מתכווץ או מתרחב, בגלל שאנחנו יכולים להזיז את המטר שלנו ממקום למקום, אנחנו לא יודעים שהוא לא יתחיל להתרחב או להתכווץ מעבר להרי החושך (וכאן באה הנחת האינדוקיצה).

  5. יובל says:

    אני חושב שהבנתי – מה שאתה אומר זה בעצם שמכיוון שכל התהליכים דועכים בזמן אז גם סקאלת האנרגיה שלנו משתנה (כי אנרגיה זה אחד חלקי זמן) ולכן מדידת רוחב פס לא תלמד אותנו כלום. הבנתי נכון?

    ועוד שאלה – העובדה שכותרת הפוסט היא "ואולי זנון צדק 1" אומרת שיהיה פוסט נוסף בסדרה?

  6. smiley says:

    כן, אני חושב שזה נכון.

    הכותרת אומרת שאני משאיר את האופציה לכתוב פוסט נוסף על זה בהמשך. אין לי משהו קונקרטי.

  7. אם אני מבין נכון אז יש מצב סיכוי קטן אפילו שהצב יוכל לנצח אם משנים את סקאלת האנרגיה

  8. אנטילופה says:

    יש סיפור קצר של לואיס קרול על אכילס והצב,
    אכילס שוכב מובס, מתנשף בעייפות, נשען על הצב ומקבל שעור
    בפרדוקסים.
    אם יש לך זמן לקרוא, מומלץ.

  9. smiley says:

    תודה (ולמי שמעוניין אפשר למצוא העתק כאן)

כתיבת תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s

%d בלוגרים אהבו את זה: